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Asunto:[RedLuz] Numero de Oro o Proporcion Aurea / Frecuencia Fibonacci / Geometria Sagrada
Fecha:Lunes, 19 de Diciembre, 2005  09:55:24 (-0600)
Autor:Ricardo Ocampo <redanahuak @...............mx>

To: plantas_magicas@... 
Subject: [plantas_magicas] Resumen nº 780 
 
 
  Fecha: Sun, 18 Dec 2005 15:17:04 +0100 (CET) 
     De: Esther Paredes Navarro <alalvivi@...> 
 Asunto: Número de Oro 
 
Queridos amigos: 
    
  En "Número de Oro" o "Sección áurea" NO es ajeno al mundo vegetal ni al de 
otro tipo de estudios más esotéricos. También se ha mencionado mucho 
recientemente porque ocupa un lugar en la novela "El Código Da Vinci" que 
pronto nos pasaran por la gran pantalla. 
  Muchos de vosotros ya sabéis y conocéis este tema pero para aquellos que 
aún sientan ganas de satisfacer su curiosidad adjunto este artículo y espero 
de todo corazón que las "fórmulas" aparezcan... pero si no las veis podéis 
acudir al original que esta en la siguiente dirección: 
    
   
http://www.glrbv.org.ve/Obras%20Literarias%20y%20Otros%20Trabajos%20de%20Int 
eres%20Masonico/EL%20NUMERO%20DE%20ORO.htm 
    
  Agradeciendo a los gentiles Hermanos de Venezuela el pirateo que me 
adjudico os saludo - esther 
 
 
--------------------- 
 
 
 
 
    EL NÚMERO DE ORO 
 
Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece 
en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el 
diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra 
griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea. 
       
          Tres números con nombre. 
  La sección áurea y el número de oro. 
  El rectángulo áureo. 
  Pitágoras y el número de oro. 
  La sucesión de Fibonacci. 
  El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza. 
  La trigonometría y el número de oro. 
  Curiosidades áureas. 
       
      Tres números con nombre  Hay tres números de gran importancia en 
matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números 
son: 
     
     El número designado con la letra griega  = 3,14159....(Pi) que 
relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 
2..radio= .diámetro). 
   
     El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor 
Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de 
la sucesión de término general . 
   
     El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número 
de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo 
presente en sus obras. 
 
  Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos 
(sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les 
llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas 
cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5). 
  Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos 
primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna 
ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras 
que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de 
la ecuación de segundo grado   es  que da como resultado el número de oro. 
La sección áurea y el número de oro  La sección áurea es la división 
armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento 
menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se 
establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el 
todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar 
proporcionalmente una línea se llama proporción áurea. 
  Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada 
anteriormente  
   
  Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que 
tendremos que resolver 
   
  Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=. 
  Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el 
segmento mayor entre el menor, 
   
  Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es 
el número de oro. 
    
  El rectángulo áureo  Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de 
uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y 
llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el 
lado mayor del rectángulo. 
   
  Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del 
rectángulo vale  por lo que la proporción entre los dos lados es  (nuestro 
número de oro). 
     
  Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A 
partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como 
veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides 
egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, 
etc...). 
  Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan 
dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C. 
  En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen 
en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces: 
   
  Vamos a demostrar que los vectores  y  son proporcionales: 
   
 
Por lo tanto, los tres puntos están alineados. 
   
  Pitágoras y el número de oro  Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y 
matemático griego, nació en la isla de Samos.  Fue instruido en las 
enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y 
Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos 
por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en 
Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con 
propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. 
La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus 
discípulos. 
 
  Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a 
los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la 
abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las 
posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la 
inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras 
proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de 
Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de 
todas sus existencias previas. 
 
  Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los 
pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de 
los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los 
números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de 
número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, 
orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron 
una base científica para las matemáticas. En geometría el gran 
descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como 
teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un 
triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos 
lados. 
 
  Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias 
a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras 
se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de 
los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la 
difusión de las ideas pitagóricas. 
 
  La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el 
símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el 
mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida 
los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se 
encontrara un número raro: el numero de oro. 
 
  Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el 
número de oro. 
      
   También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en 
proporción áurea. 
   
Ver la sección La trigonometría y el número de oro. 
    
   
  La sucesión de Fibonacci  Consideremos la siguiente sucesión de números: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... 
 
     Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le 
preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. 
Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.   *Es el sobrenombre 
con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). 
Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los 
conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del 
sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano. 
 
  La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para 
que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque 
se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de 
esta sucesión:               t1  t2  t3  t4  t5  t6  t7  t8  t9  t10  t11 
t12  t13  t14    1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233  377 
     
     Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto 
(1+1+2+3   + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te 
sale el séptimo (1+1+2+3+5     +  1 = 13). 
   
     Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar 
(t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro 
primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo 
término (t8), (1+2+5+13 = 21). 
   
     Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) 
y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8   + 1 =13). Si sumas los 
cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, 
sale el noveno término (t9), (1+3+8+21  +  1 =34). 
 
  ¡Aún las hay más difíciles de imaginar! 
     
     Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando 
al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la 
sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 
82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la sucesión. 
   
     Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, 
sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si 
hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del 
sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13. 
   
     Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos 
términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y 
veamos lo que obtenemos: 
 
  1  : 1   =  1    
   2  : 1   =  2 
   3  : 2   =  1´5 
   5  : 3   =  1´66666666 
   8  : 5   =  1´6 
  13 : 8   =  1´625 
  21 :13  =  1´6153846.... 
  34 :21  =  1´6190476.... 
  55 :34  =  1´6176471.... 
  89 :55  =  1´6181818.... 
 
   Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al 
número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más 
a =1,61803.... En lenguaje matemático, 
   
  Efectivamente,  
                    
   
  El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza  El número áureo 
aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, 
partes de nuestro cuerpo, ... 
 
  Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón 
griego. 
   
   En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus 
medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=. 
 
  Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de 
oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los 
tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. 
    
  Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el 
lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está 
basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor. 
    
  Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de 
crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de 
tabaco. 
    
  Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los 
griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para 
ilustrar el libro La Divina Proporción  de Luca Pacioli editado en 1509. 
 
  En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las 
construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto 
en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean 
proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo 
se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo 
que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de 
los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un 
ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del 
hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano 
(radio de la circunferencia) es el número áureo. 
 
  El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de 
tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una 
filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no 
es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la 
meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el 
pentagrama místico pitagórico. 
       
  En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de 
las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, 
dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas. 
    
    La espiral logarítmica   Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le 
sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, 
resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el 
cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso 
se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de 
rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral 
logarítmica.       
 
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de 
matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral 
equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) 
o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica 
mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, 
fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera 
grabada en su tumba. 
 
  La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el 
crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales 
(conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. 
El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus. 
 
    La trigonometría y el número de oro 
 
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. 
En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. 
La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 
es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de 
los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de 
triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información 
adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, 
que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos 
segmentos cumplen: a>b>c>d. 
 
  Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el 
teorema del seno. 
 
  Triángulo ABE 
          
  Triángulo ABF 
                   
  Triángulo AFG 
          
         Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º. 
    
  En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones: 
   
  Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de 
mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante 
e igual a nuestro número de oro. 
 
  Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y 
haciendo b=1: 
   (el numero de oro) 
 
  Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea. 
  Como consecuencia, se verifica . 
   
  Curiosidades áureas  Potencias. Los números  guardan unas curiosas 
relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la 
ecuación  que tiene como solución el número de oro: 
   
  Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos 
los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. 
Calculando primero algunas potencias 
   
  podemos concluir que la sucesión dada se convierte en 
   
  Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando 
los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se 
verifica en la sucesión de Fibonacci. 
  Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el 
número de oro: 
                                     1                               2 
                    
  1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se 
verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos 
los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una de las 
soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro . 
 
  2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando 
denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la 
ecuación  cuya solución positiva es el número de oro. 
 
   por Ignacio A. Langarita Felipe 
 
 
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