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Asunto:[TA] PITAGORAS FUE UN GRAN SABIO(obviamente)Y LOS GRIEGOS TAMBIEN...pero menos que los Babilonios
Fecha:Miercoles, 4 de Agosto, 2004  22:09:26 (+0200)
Autor:Ana Maria Vazquez <avhoys @.....es>

Al César lo que es del César. Yo creo que Pitágoras se enteró del Heliocentrismo en Babilonia. Pero de eso si que no le hicieron caso.....y así nos fue durante 200 años, como abajo se lee( entre otros el dichoso Aristóteles...que entendió lo de los números irracionales, como abajo vereis). Fue un gran matemático. Y cuano me meto con él y con los griegos es para que se escandalice el mundo mundial y comprenda que ,  primero...Oriente. Pero que, a mi , me da lo mismo que hubiese sido La Mancha...Lo único que hago es informaros por distraerme y porque he visto el lio que os traíais con lo de la helenofobia y el filohelenismo...
Una sonrisa y que estudieis y os lo paseis muy bién mucho.Espero que además de repasar las matemáticas, también leais bién francés.A ver si sigo con el alemán que me trae frita estos días con el elamita...Como vereis, esto es mas divertido que la playa....
Un saludo
Dra.Vázquez Hoys
 
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Pythagore.html
 
PYTHAGORE de Samos, grec, -570?/-500?

Astronome, philosophe, musicologue, cet illustre savant nous est connu par les Pythagoriciens (ou Pythagoréens), ses disciples. Personnage mythique pour ces derniers (il serait le fils d'Apollon), il créa son école à Crotone, laquelle devint rapidement une secte aux règles de vie très sévères. Devenant alors dérangeant, persona non grata, il mourra assassiné.

Pour Pythagore, suivant en cela Thalès, la terre est sphérique et tourne sur elle-même autour du Soleil (héliocentrisme). Cette théorie fut hélas invalidée par Eudoxe, Aristote et Ptolémée (géocentrisme) et plongea le monde dans l'erreur pendant 2000 ans jusqu'à l'entrée en scène de Galilée et de Copernic.

Le célèbre théorème de Pythagore

Plimpton 322 Il affirme que dans un triangle ABC rectangle en A, le carré du côté qui sous-tend l'angle droit (hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :  ( cliquer sur la tablette pour l'agrandir)

BC2 = AB2 + AC2

est en fait antérieur au célèbre philosophe : on le retrouve 2000 avant J.-C. dans une tablette babylonienne cunéiforme (Plimpton 322, Université de Columbia, USA).

Sa démonstration, et celle de sa réciproque, est présente dans les Eléments d'Euclide (les deux dernières propositions, 47 et 48, du livre I). Selon les auteurs, pour fêter sa découverte, Pythagore aurait sacrifié entre 1 boeuf et... tout un troupeau, à cette occasion.

De cette relation fondamentale découle d'autres égalités fort utiles, dites relations métriques dans le triangle rectangle comme (H désignant le pied de la hauteur issue de l'angle droit) :

AB2 = BH x BC  ,  AC2 = CH x CB  ,  AH2 = HB x HC  ,  1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2  ,  AH x BC = AB x AC

La première relation (donc aussi la seconde) peut être exprimée au moyen de la propriété de Thalès en remarquant que les triangles rectangles ABC et ABH sont semblables (mêmes mesures d'angles), donc quitte à modifier la figure en remplaçant ABH par AB'A' (ci-dessus) afin d'obtenir une configuration de Thalès avec AB' = BH et (B'A')//(BC), on a : AB'/AB = B'A'/BC, soit BH/AB = AB/BC, soit AB2 = BH x BC.

Le plus beau triangle de l'histoire des mathématiques est, sans conteste, le triangle de côtés 3, 4 et 5 : il est rectangle et fut nommé triangle d'or par les anciens : ci-après.

  Triangle d'or

Collégiens : un seul h à hypoténuse! Ne pas confondre avec hypothèse qui a deux h... : du grec hypothesis avec un sens étymologique proche, il est vrai :

  • hypoténuse : du grec hupo = sous et teinein = tendre : côté qui sous-tend l'angle droit.
  • hypothèse : du grec hupo = sous et theînai = poser , thesis = action de poser, dans le sens d'un propos que l'on place à la base de son discours et sur lequel on développe sa pensée (thèse).

 Une preuve élémentaire utilisant les aires se comprend par la figure de gauche : on considère un carré de côté a + b; on prouve facilement que le quadrilatère intérieur (en vert) est un carré de côté noté c. Dans ces conditions :

4 x ab/2 + c2 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. Soit : c2 = a2 + b2

Cette preuve n'est pas sans rappeler celle du mathématicien indien Bhaskara :

Théorème de Pythagore :     selon Euclide :       selon  Bhaskara :

Calcul d'aire par différence  (cercles tangents, losange, th. de Pythagore)

Pyramide de boules   géométrie moins élémentaire...         Variante :  Pyramide de disques
Cube inscrit   mesure du côté du cube inscrit dans une sphère
Ligne d'horizon  théorème de Pythagore

Relations métriques dans le triangle rectangle    en conséquence de la propriété de Thalès

 
La découverte des nombres irrationnels :

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABC construit dans un carré ABCD de côté a, conduit à écrire :

AC2 = a2 + a2 = 2a2

La diagonale du carré apparaît donc comme le produit de a par un nombre dont le carré est 2 : il s'agit de la  racine carrée de 2.

La diagonale [AC] mesure a2 où 2 , racine carrée de 2, désigne le nombre dont le carré est 2 : 2 x 2  = (2)2 = 2. La diagonale AE du cube s'obtient en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AEF, rectangle en F : AE2 = FE2 + AF2 = (a2)2 + a2 = 3a2. Par suite AE = a3 : la racine carrée de 3 est le nombre dont le carré est 3.

La philosophie de Pythagore, transmise par les Pythagoriciens (disciples de Pythagore qui propagèrent sa pensée dans tout l'empire grec) reposait sur l'explication harmonieuse de toute chose par les nombres entiers. Elle incluait les fractions : quotients non effectués de deux entiers. Cette vision du Monde fut sérieusement ébranlée lorsqu'il ne put trouver d'entiers m et n tels que m2 = 2n2 afin d'évaluer rationnellement la diagonale du carré. L'incommensurabilité de la diagonale d'un carré (et d'un cube) avec son côté, sera prouvée par Aristote et donnera naissance aux nombres irrationnels (étymologiquement : que l'on ne peut pas compter , du latin ratio signifiant compte). Ainsi commence la longue construction des nombres réels :

Théodore de Cyrène , Al-Biruni , Galilée, Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor               racine carrée : auto-évaluation niveau 3ème

Rudolff et le signe :          Racine carrée, cubique, n-ème dans ChronoMath :

Rappelons qu'un nombre est dit rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a/b (fraction) où a et b sont des entiers relatifs (b non nul). Pour qu'un nombre possédant une infinité de décimales soit rationnel, il faut et il suffit que la suite de ses décimales soit périodique : pour un nombre rationnel a/b, dans la division de a par b, les restes ne peuvent excéder b-1. Ainsi si tous les restes sont différents, on obtient la même suite de décimales au bout de b divisions au plus.

  • 1/7 = 0,14285714285714285714285714285714... : la période est de longueur 6 = 7 - 1;
  • 2/9 = 0,222222222... : la période est de longueur 1.
Triplets pythagoriciens ou triades

Les triplets (a,b,c) d'entiers naturels non nuls, tels que a2 + b2 = c2 , comme (3,4,5), furent étudiés par Euclide et Diophante, lequel fut le premier grand spécialiste des équations en nombres entiers. Il en existe une infinité que l'on peut caractériser facilement ou calculer au moyen de l'ordinateur. Les Pythagoriciens trouvèrent ceux de la forme :

a = 2n + 1 , b = 2n2 + 2n , c = 2n2 + 2n + 1

Un triangle rectangle dont les côtés constituent un triplet pythagoricien est parfois qualifié de pythagorique et le triangle correspondant au cas a = 3, b = 4, c = 5 a été baptisé triangle d'or. On parle aussi de rectangle pythagoricien : ses côtés et diagonales sont des nombres entiers. Précisons, à la gloire des babyloniens, que la tablette Plimpton 322 dresse une liste de nombres écrits en base 60 qui s'avèrent de la forme a = n2 - p2 , b = 2np , c = n2 + p2 vérifiant donc :

a2 + b2 = c2 car (n2 - p2)2 + (2np)2 = n4 - 2n2p2 + p4 + 4n2p2 = (n2 + p2)2

 Étude et recherche des triades (programmation) :

Pour les petits curieux, si on remplace les carrés par des cubes, on pénètre dans le célèbre problème de Fermat : ne cherchez pas, il n'y a pas d'exemple ! Et si, au lieu d'une somme de deux termes, on en écrit 3, on a un joli cas de quadruplet cubique... : 33 + 43 +53 = 63.

Notion d'angles alternes-internes et somme des angles d'un triangle

Selon Proclus, la notion d'angles alternes-internes, mise clairement en place par Euclide dans ses Éléments (Livre I, proposition 27 à 29) fut utilisée auparavant par les Pythagoriciens qui énoncèrent :

la somme des angles d'un triangle égale deux angles droits (angle plat)

Il suffit de tracer la droite (d) passant par A et parallèle à (BC). Les parallèles (d) et (BC) sont coupées par la sécante (AB) : elles déterminent donc des angles alternes-internes de même mesure : ^A1 = ^B1. De même ^A3 = ^B3, d'où le résultat.

Cette propriété fondamentale fera l'objet de la proposition 32 du livre I des Éléments d'Euclide. Depuis Hipparque, on peut aussi énoncer :

Dans tout triangle la somme des mesures des angles égale 180°

Rappel : Deux droites (d1) et (d2) coupées par une sécante (s) déterminent des angles dits alternes-internes (en vert). Ainsi appelés car ils ils sont de part et d'autre de la sécantes (ils alternent) et ils sont à l'intérieur (internes) de la bande formée par les droites (d1) et (d2). Les angles marqués en rouge sont dits correspondants. On a le résultat suivant :

Pour que (d1) et (d2) soient parallèles, il faut et il suffit que les angles alternes-internes ou correspondants formés avec une sécante quelconque (s) soient de même mesure.

 


     Exercices niveau 5ème/4ème : Angles & parallèles, somme des angles du triangle
 

Angles et parallèles  #1  apprendre à démontrer, angles alternes-internes

Angles et parallèles #2   apprendre à démontrer, angles alternes-internes            

Angles et parallèles #3  apprendre à démontrer, angles alternes-internes

Angles et parallèles #4  apprendre à démontrer, angles alternes-internes

Angles et parallèles #5  angles correspondants

Angles et parallèles #6  angles alternes-internes et correspondants

Bissectrices et parallèles (angles alternes internes)   apprendre à démontrer

Angles alternes-internes & bissectrice  apprendre à rédiger et à construire

Barrette mobile dans un triangle  angles alternes-internes, bissectrice

Somme des angles d'un triangle  apprendre à rédiger

Symétrie axiale et somme des angles du triangle  apprendre à démontrer/rédiger

Symétrie centrale & symétrie axiale    angles alternes-internes

Question équilatérale  somme des angles d'un triangle

Bissectrice, hauteur, somme des angles d'un triangle  apprendre à rédiger

Un carré et des angles   somme des angles d'un triangle

  Triangle infernal  un « petit » problème angulaire...

Moyenne arithmétique, géométrique et harmonique, concept de suite numérique

Les Pythagoriciens améliorèrent les calculs fractionnaire et décimal, hérités des égyptiens, en s'appuyant sur les propriétés des proportions et des diverses notions de moyenne :

  • moyenne arithmétique : (a + b)/2  et plus généralement : (a1 + a2 + ... an)/n
  • moyenne géométrique :    = (ab)1/2  et plus généralement (a1x a2 x ... x an)1/n
  • moyenne harmonique : (1/a + 1/b)/2 et plus généralement (1/a1 + 1/a2 + 1/an)/n

Pour en savoir plus :               Série harmonique :               Division harmonique :   

Divisibilité et premiers résultats sur les nombres... premiers

On doit aux Pythagoriciens d'importants résultats d'arithmétique sur :

  • les nombres premiers (n'ayant pas de diviseurs autres que 1 et eux-mêmes) qu'Euclide étudiera tout particulièrement dans ses Eléments.
  • les critères de divisibilité
  • une claire distinction entre le pair (2n) et l'impair (2n+1)
  • la notion de nombre parfait : entier égale somme de ses diviseurs autres que lui-même. Ces nombres sont "rares" : en deçà de 10000, il n'y en a que 4 :
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

L'existence de nombres parfaits impairs est un problème ouvert. C'est Euler, 2200 ans plus tard, qui caractérisa les nombres parfaits pairs.

Critères de divisibilité :                      Nicomaque :

L'étude des polygones et polyèdres réguliers

Les Pythagoriciens connaissaient parfaitement les polygones réguliers. Ils furent les premiers à s'intéresser aux polyèdres réguliers, dits aussi communément polyèdres de Platon : ils construisirent le cube (6 faces), le tétraèdre (4 faces) et le dodécaèdre (12 faces); on sait depuis Descartes qu'il n'y en a que cinq, avec l'octaèdre (8 faces) et l'icosaèdre (20 faces).

Le symbole de la secte pythagoricienne était le pentagramme, pentagone étoilé constitué des diagonales du pentagone régulier, également appelé pentacle, lequel possède de nombreuses propriétés géométriques et numériques : le rapport de la diagonale au côté est le nombre d'or.

   Petit exercice sur le pentagramme

 La forme pentagonale régulière semble avoir fasciné penseurs, architectes, constructeurs, depuis l'antiquité. Il est vrai, de surcroît, qu'elle se rattache aux fameux nombre d'or... On peut évoquer la représentation symbolique des étoiles du ciel, les symboles religieux, de très nombreux drapeaux, la plupart des distinctions honorifiques comme la légion d'Honneur ci-contre, le constructeur Chrysler, le Pentagone (ministère américain de la défense), voire à un fournisseur d'accès assez connu sur le Ouaibe...

A droite, le drapeau turc, le croissant, rappelle la période de début du Ramadan : premier croissant qui suit la nouvelle Lune, 9ème mois (lunaire) de l'année musulmane. L'étoile à 5 branches rappelle les 5 prières quotidiennes et les 5 piliers de l'Islam : il n'y a de dieu que Dieu et Muhammad est son prophète, la prière obligatoire, jeûner pendant le mois de Ramadan, donner l'aumône, effectuer le pèlerinage à la Mecque.

Pentagone régulier et pentagramme :

Table de Pythagore :

On nomme ainsi un tableau à double entrée indiquant à l'intersection d'une ligne et d'une colonne le résultat d'un opération (comme à gauche).

On les trouve encore, au dos des cahiers de brouillon des élèves de l'école primaire sous la forme ci-contre. On les utilise aussi afin de visualiser les composés de deux éléments dans un groupe fini : c'est alors un carré latin.

groupe symétrique :

 Pour en savoir plus sur la vie de Pythagore et sa philosophie :


Thalès  Zénon
© Serge MEHL



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